Zdroj: https://www.gutenberg.org/files/28233/28233-pdf.pdf, str. 32
Roman Hašek, Pavel Pech
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
Střední příčkou trojúhelníku je úsečka spojující středy jeho dvou stran.
Věta o středních příčkách trojúhelníku: Každá střední příčka trojúhelníku je rovnoběžná s jednou z jeho stran (s níž nemá společný bod) a její délka je rovna polovině délky této strany.
Střední příčky rozdělují trojúhelník na čtyři menší trojúhelníky, viz trojúhelník ABC na obrázku. Dokažte, že všechny tyto trojúhelníky jsou vzájemně shodné.
Těžnice trojúhelníku je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem jeho protilehlé strany. Všechny tři těžnice mají společný jeden bod, těžiště trojúhelníku T. Těžiště rozděluje každou těžnici na dvě části, jejichž délky jsou v poměru 1:2. Od vrcholu trojúhelníku je tak vzdáleno dvakrát více než od středu protilehlé strany.
Těžnice rozdělují trojúhelník na šest menších trojúhelníků, viz trojúhelník ABC na obrázku. Dokažte, že všechny tyto trojúhelníky mají stejný obsah.
Trojúhelník může být vytvořen pouze z takových stran, pro jejichž délky platí, že součet každých dvou z nich je větší než ta třetí.
Užitím dané čtvercové sítě určete obsahy trojúhelníků ABC pro bod C umístěný postupně v bodech 1, 2, 3, 4 a 5. Získané hodnoty porovnejte a vyslovte hypotézu o tom, na čem obsah trojúhelníku závisí.
Jaký je vztah obsahů trojúhelníků ABC a ABD? Závisí na umístění bodů C a D na přímce l rovnoběžné s AB?
Keplerovy zákony se zabývají pohybem planet kolem Slunce. Druhý z nich je věnován rychlosti pohybu planety podél oběžné dráhy. Můžeme ho formulovat takto: Průvodič planety (spojnice planety se Sluncem) opíše za stejný čas stejnou plochu.
Důkazem tohoto zákona se zabýval také Isaac Newton ve svém díle Philosophia Naturalis Principia Mathematica. Konkrétně představil geometrický důkaz, který doprovodil následujícím obrázkem:
Zdroj: https://www.gutenberg.org/files/28233/28233-pdf.pdf, str. 32
Pro získání lepší představy o myšlence tohoto geometrického důkazu budeme pracovat s dynamickou verzí "Newtonova" obrázku, viz níže.
Význam obrázku je následující:
Body A, B, C, D a E jsou po sobě jdoucí pozice planety při jejím pohybu kolem Slunce,
vždy pro stejně velký časový interval, za předpokladu, že gravitační síla mezi planetou a Sluncem působí pokaždé pouze na konci tohoto intervalu.
Změna polohy způsobená gravitací je v každém z příslušných bodů reprezentována (červeným) vektorem směřujícím z tohoto bodu do bodu
S (Slunce) (Velikost této změny můžeme ovládat posuvníkem m). Dle zákona setrvačnosti (1. Newtonův zákon),
je zřejmé že |AB| = |Bc|, |BC| = |Cd| a |CD| = |De| (Vysvětlete!).
Potom jsou ale obsahy trojúhelníků ΔSAB, ΔSBC, ΔSCD and ΔSDE shodné,
přesně v souladu se zněním druhého Keplerova zákona. Dokažte! Můžete to dělat postupně, s využitím trojúhelníků ΔSBc, ΔSCd a ΔSDe.
Mějte při tom na paměti, že úsečky cC, dD a eE jsou v daném pořadí rovnoběžné s BS, CS a DS.
Hodí se také poznatky získané řešením předchozích příkladů.